A la différence d'un aimant statique, on peut piloter le champ magnétique d'un électro-aimant: on va pouvoir ajuster ce champ en permanence pour assurer la stabilité de la lévitation, à l'aide d'un capteur qui donnera la position de l'objet.
Nous allons regarder les principales configurations qui utilisent un électro-aimant i.e. une bobine parcourue par un courant, ce qui permet de générer un champ magnétique variable en faisant justement varier ce courant.
Il existe moultes manières de faire de l'antigravité avec des moyens électriques, en agençant bobines et aimants d'appoint, ainsi que de mesurer la position de l'objet avec divers capteurs, aussi ne vous attendez pas à un récapitulatif exhaustif.
C'est l'idée la plus simple: on attire un objet aimanté avec une bobine placée au-dessus.

Ainsi que des sites qui vous guideront pas à pas pour faire cela avec trois fois rien.
Le fonctionnement requiert un capteur quelconque pour mesurer la position de l'objet. Le plus simple, à mon avis, est d'utiliser une sonde à effet Hall qui vous mesurera la force du champ magnétique, et indirectement la position de l'objet. Une autre méthode commune consiste à éclairer l'objet d'un coté et mettre un capteur de lumière de l'autre.

L'intensité du champ magnétique sera asservie sur la position de l'objet :
- on l'augmente s'il a tendance à tomber
- on le réduit si l'attraction est trop forte et qu'il monte
simplement en ajustant le courant qui parcoure la bobine. La difficulté principale sera de gérer convenablement la rétro-action, avec le filtre adéquat, pour éviter les oscillations désagréables, voire déstabilisantes.
Ensuite il suffit d'être inventif pour camoufler la tripaille, mais on n'évitera pas la bobine placée au-dessus de l'objet en lévitation. Ni l'alimentation électrique pour faire fonctionner tout ça.

On peut bien faire voler ce qu'on veut...
Il faudra ajuster la puissance de l'électro-aimant au poids de l'objet.
Une variante classique consiste à envoyer de l'énergie dans l'objet par induction (avec d'autres bobines), ce qui permet:
- D'éclairer l'objet de l'intérieur
- De faire un haut-parleur suspendu
et certainement bien d'autres choses, mais on sort du problème de la lévitation.
La lévitation par attraction pour compenser la pesanteur présente un défaut esthétique principal: c'est moche cette bobine située au-dessus de l'objet flottant.
On a fini par réaliser une lévitation par répulsion, en poussant l'objet vers le haut. Mais un problème délicat se pose: l'objet a évidemment tendance à se sauver sur les cotés, il va falloir le retenir.
La solution est relativement simple:
- Des aimants assurent une attraction vers le bas (ce qui parait stupide au départ)
- Plusieurs électro-aimants, quatre par exemple, effectuent une répulsion: l'objet est poussé vers le haut.

- Trois capteurs permettent de mesurer la position de l'objet dans les 3 directions de l'espace.

On voit également 4 bobines (électro-aimants), entourées de 8 aimants néodyme.
Une boucle de rétro-action (= un programme dans un micro-contrôleur) assure la stabilité de l'ensemble.
La répulsion est assurée par les électro-aimants: leur puissance conditionnera le poids qui sera soulevé. A l'arrêt (à la coupure du courant) les aimants retiennent l'objet, qui n'est pas éjecté sur les cotés.
Avec les 3 capteurs donnant la position précise de l'objet dans l'espace, s'il commence à dériver sur un coté, un ou deux électro-aimants rattraperont le coup.
Avec ce système, il existe un point "d'accroche" précis: il faut placer l'objet juste au bon endroit, c'est un coup de main à prendre.

Sur l'embase, un aimant en ferrite (moins cher) plutôt que du néodyme.
Ensuite, c'est le cinéma habituel pour camoufler les tripes du système afin de le rendre d'apparence magique.

Un détail utile: il suffit que l'objet penche un poil pour provoquer une rotation ma foi fort impressionnante, surtout associée avec un éclairage interne.

Sauf que pour la Terre, et bien ce serait mieux si l'axe de rotation était incliné. Et bien cela a été fait en envoyant de l'énergie par induction dans la sphère, et en ajoutant un moteur. Et là, c'est la classe.
Le concept a été poussé bien plus loin pour pouvoir manipuler des objets, et effectuer des rotations, mais bon, c'est une autre histoire.

L'utilisation de puissants aimants et électro-aimants permanents permet en fait de rendre l'attraction terrestre relativement négligeable, et ce système fonctionne aussi à l'horizontale, ce qui est inhabituel.

Pour faire mouvoir une bille circulairement, et bien il faut simplement entrainer tout le système de sustentation magnétique en rotation. Rien de bien sorcier, c'est juste pénible à réaliser, faut se peler des engrenages, surtout si vous voulez deux aiguilles.
Lorsqu'un conducteur électrique est soumis à une variation de champ magnétique, alors des courants dits de Foucault (eddy current en anglais) sont induits, créés dans la masse du conducteur, ce qui provoque en retour un champ magnétique opposé: c'est l'induction magnétique. L'induction magnétique aura donc tendance à faire léviter un conducteur. Accessoirement, ces courants induits dissipent de l'énergie et le chauffent, ce qui est quand même pratique pour chauffer la poêle sur nos plaques à induction.

Vous pouvez tenter l'expérience chez vous, avec votre plaque à induction et une feuille d'aluminium. Ne coincez pas la feuille, elle pourrait chauffer au rouge et vous bruler...
L'hoverboard de Retour vers le Futur 2 a même été tenté [2014] :

Il faut "juste" une piste métallique bien plate... et une batterie d'enfer.
Une autre configuration consiste à bouger (rapidement) le substrat métallique sous un aimant. On peut faire cela avec des rouleaux en cuivre :

Les trains à sustentation magnétique sont un cas particulier: on souhaite la lévitation pour éliminer les frottements des roues, mais aussi effectuer une propulsion, ce qui est réalisé avec une combinaison d'électro-aimants, et diverses propositions existent.

Il y a beaucoup à raconter à propos de ces trains à lévitation magnétique, mais finalement rien de particulier sur le principe de base: c'est de la répulsion magnétique. Aussi je ne m'étendrai pas sur ce sujet, z'avez qu'à regarder Maglev sur Wikipedia.
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