Fondue et thé centripètes

08 février 2025
Whoua ! Du Chignin-Bergeron ! L'aubaine !

Pourquoi le fromage râpé, dans mon vin blanc, se rassemble au centre du caquelon quand je le touille en rond ? Le fromage est lourd, la force centrifuge, avec la rotation, devrait le projeter sur les bords !

Le fondu

Alors voilà, je mets du râpé (du Beaufort) dans du vin blanc (Apremont, Jongieux, du Savoie quoi) qui chauffe...
😋 Chic, de la fondue !
😵 Puis quand je touille en rond, le râpé se rassemble au milieu !
🤓 Et ça ne devrait pas ?

Rotation en bloc

😑 Ben déjà, on aurait pu penser qu'il ne se passe rien, que l'ensemble tourne en bloc.
😏 En bloc ? C'est ce qu'il va t'arriver si tu continues comme ça.
😁 Tu vas obtenir un bloc de fromage.
😣 Oui, je sais, il faut tourner en huit
Mais quand je fais ça, le phénomène disparait.
Bon revenons à nos moutons.
Oui, rotation en bloc, tu disais.
Les morceaux de râpé resteraient sans bouger par rapport au vin blanc.
Ce n'est pas le cas, ils sont plus lourds que le vin, ils bougent dans le liquide, ils ont tendance à tomber au fond.
Je vois ça. Donc quand je mets l'ensemble en rotation, avec la force centrifuge, le fromage devrait être projeté sur les bords du caquelon !
😲 Et là on voit le contraire !
🤓 C'est que c'est la force centripète.
??? 🥸
Dans ton caquelon, elle n'est plus centrifuge, mais centripète.
🤪 N'importe quoi !
Les lois de la physique changeraient juste pour ma fondue !
Ben, tu le vois bien !

Liquide en rotation

😏 Je te charrie.
Ça n'arrive pas que pour ta fondue
😮 Ah bon ?
C'est pareil quand tu touilles le thé
On voit le sucre et tout ce qui est solide se rassembler au milieu
Tout se rassemble au milieu...
Ah oui, c'est vrai ça dis-donc !
C'est quand même étonnant, la force centrifuge devrait avoir tendance à pousser les particules vers le bord de la tasse.

Schrödinger et Einstein

T'es pas le premier à t'en étonner.
Ah bon ?

En 1925, Einstein prenait le thé chez les Schrödinger.

Madame Schrödinger demanda à son mari pourquoi les feuilles de thé se rassemblaient au milieu de la tasse en touillant. Il ne sut pas répondre. Mais Einstein si.

Les problèmes proviennent du fait que les molécules de liquide en contact avec le récipient ne bougent pas. La viscosité fait le reste.

La vitesse du liquide devient nulle au bord du caquelon, il n'y a plus de rotation.
Certes, la vitesse diminue en arrivant vraiment tout au bord, mais juste avant, on devrait avoir du fromage !
C'est oublier le fond plat.
Rhââh mais oui, je suis con. facepalm
🙄 Ça, on le savait déjà.
Au fond aussi, la vitesse est partout nulle !
Eh oui, ça frotte.
Et ça engendre un courant bizarre.
(Einstein 1926) : la distribution inégale des forces centrifuges provoque une espèce de rotation en forme de tore.
🧐 Ah oui, c'est bizarre, tu peux le dire !
D'ailleurs, je n'y comprends rien, pourquoi cette forme ?

Pression hydrostatique
et force centrifuge

Voici un calcul relativement simple qui permet de se rendre compte du phénomène au premier ordre.

Parabole

Nous allons considérer un liquide de densité ρ placé dans un récipient cylindrique, l'ensemble étant en rotation à la vitesse Ω.

Dans ces conditions, le récipient et le liquide tournent "d'un bloc", il n'existe aucun frottement. D'ailleurs, si on se place dans un référentiel tournant à la vitesse de l'ensemble, rien ne bouge.

Rien ne bouge dans un référentiel tournant.
Mais la particule (aussi celles du liquide), vue de dessus, décrit un cercle dans un référentiel fixe.

Référentiel tournant

Dans un référentiel tournant à la vitesse Ω, la particule ne bouge pas, sa vitesse est nulle. Mais elle subit quand même la force centrifuge, qui va s'appeler la force de Coriolis.

Ici, comme elle ne bouge pas, ce n'est pas amusant, mais si elle se déplaçait, on aurait des effets bizarres car nous sommes dans un référentiel tournant, comme sur Terre.

rotation terrestre
La trajectoire d'un objet parait courbe vue du pôle Nord.
Elle est déviée à droite dans l'hémisphère nord.

Je vous conseille de réviser cela avec le coup des lavabos.

😒 Mais attend, la surface du liquide n'est pas plate comme sur le dessin !
Effectivement, on va voir qu'elle est parabolique.

Définissons la hauteur de liquide h(r) va dépendre de sa distance au centre de rotation r.

Une particule (thé ou fromage râpé, comme vous voulez) placé à une distance r du centre et à une altitude z a une trajectoire circulaire (vu du dessus), et subit la force centrifuge :

vitesse = Ω r
force centrifuge = Ω² r
La hauteur du liquide vaut h(r).
Une particule, le liquide en particulier, subit la force centrifuge.
🤨 Eh bien la particule subit bien la force centrifuge, elle devrait se barrer sur les bords.
On voit qu'elle ne bouge pas. Ça veut dire qu'une autre force vient la compenser exactement.

La force qui compense l'effet centrifuge provient forcément d'un gradient de pression dans le liquide (quoi d'autre ?).

force du gradient de pression = ΔP / ρ = Ω² r = force centrifuge

ρ est la densité du liquide, r la distance au centre (rayon).

Pas de mouvement (dans le référentiel tournant), les deux forces se compensent exactement.

La différence de pression entre deux points à l'altitude z est l'intégrale, soit :

P(r,z) - P(0,z) = ½ ρ Ω² r²

On notera, et c'est important, que la différence de pression ne dépend pas de l'altitude z.


Mais la pression P (pas la différence) dépend de l'altitude z, ou plus exactement, du poids de la colonne de liquide au-dessus de notre particule de thé :

P(r,z) = ρ g (h(r) - z)

avec h(r) la hauteur de liquide à la distance r du centre.


Comme on veut connaitre la hauteur de liquide h(r) par rapport à sa hauteur au centre h(0), on déduit de la formule précédente :

h(r) - h(0) = [ P(r,z) - P(0,z) ] / ρ g

Et en remplaçant la différence de pression, on obtient :

h(r) - h(0) = ½ Ω² r² / g

La surface de l'eau présente une forme parabolique en r², et le dessin devient plus réaliste :

😌 Ah ben oui, j'aime mieux ça.
Le liquide est "poussé" sur les bords par la force centrifuge.
Une fois l'équilibre atteint, plus rien ne bouge.
😩 Mais pour l'instant, je ne vois pas comment mon fromage va revenir au milieu.
Il ne revient pas, car le fond du récipient tourne à la même vitesse que le liquide.
Ah oui, c'est ça la différence !
Aucun frottement.
On change la vitesse de rotation ?
Cela devrait mettre la zone...

Liquide plus rapide

Nous allons appliquer une vitesse de rotation du récipient plus lente que la vitesse de rotation du liquide. Autrement dit, le liquide tourne plus vite que la tasse, c'est comme si on le touillait.

Ce qui est important, c'est la différence de vitesse. Si vous voulez, la tasse peut avoir une vitesse de rotation nulle, ça ne changera rien au calcul qui suit, c'est juste une valeur particulière.

La nouvelle vitesse de rotation du récipient est Ωₜ < Ω, vitesse du liquide inchangée (du moins au début, la friction ne fait que commencer) :

Le liquide tourne plus vite que le récipient.

En fait, rien n'a changé pour la majeure partie du liquide, on a toujours la même force centrifuge compensée par la même pression hydrostatique.

force du gradient de pression = ΔP / ρ = Ω² r = force centrifuge
🤨 Comment ça, c'est pareil ?
Ben oui, il n'y a pas de raison que ça change, le liquide tourne toujours à la même vitesse.
🥴 Sauf que mon fromage revient au milieu !
Si tu fais bien attention, tu verras que ça passe au fond du récipient, et pas en haut.
🤔 La vitesse du liquide au contact du récipient, côtés et fond, est celle du récipient.
C'est plus lent !
🙇 Et il existe toute une gradation, liée à la viscosité du liquide.
😲 Du coup, la force centrifuge est plus faible au fond du récipient !
Ωₜ² r < Ω² r : la force centrifuge diminue au fond

Voire devient nulle si la tasse est à l'arrêt. Mais avec une gradation progressive en altitude liée à la viscosité.

😎 Mais la pression hydrostatique est inchangée, donc ça pousse vers le centre. Pigé !
🙄 Mouais, t'es un peu long à la détente, parfois.
La force centrifuge est plus faible au fond car le récipient tourne moins vite, alors les particules sont entrainées par le gradient de pression qui est inchangé. Elles se dirigent vers le centre, le liquide est obligé de remonter, provoquant un courant.

Un courant de liquide est créé depuis le bord vers le centre, au fond du récipient, entrainant les particules. Comme le liquide ne peut pas s'accumuler au milieu, c'est qu'il remonte au centre, et se redistribue sur les côtés. C'est ce qu'avait déduit Einstein avec son dessin de tasse de thé, qui au passage oublie un peu la forme parabolique de la surface du liquide...

Albert, la surface du liquide est parabolique...

Pour la petite histoire, Einstein ne fut pas le premier à deviser sur ce sujet.

En 1857, James Thomson, le frère aîné de William Thomson dit Lord Kelvin, avait déjà imaginé cela dans “Grand current of atmospheric circulation”.

Liquide plus lent

🤔 Mais dis-donc, si on accélère la vitesse de rotation de la tasse, c'est l'inverse ?
Eh ouais, le fromage ira vers les bords...
On n'en parle pas très souvent dans les articles sur le sujet.
Faut dire que les gens creusent rarement le problème.

Tout ceci est une version très simplifiée des phénomènes réels, qui sont nettement plus complexes du fait de la viscosité du liquide.

En particulier, la surface du liquide ne bouge pas beaucoup, on peut s'en rendre compte avec des expériences où on place quelques cristaux de permanganate de potassium (couleur violette) au fond du récipient, et des petites particules flottantes. On place le récipient sur un tour dont on peut choisir la vitesse, et on regarde ce qui se passe.

Le gars ne tourne pas autour du pot, c'est la caméra qui tourne avec le récipient.
Récipient et liquide tournent en bloc, du moins au début.
Remarquez que les points noirs qui flottent ne partent pas, ni vers le centre, ni vers le bord.
Accélération / anticyclone
Le fond entraine ⇒ vers les bords
Ralentissement / cyclone
Le fond freine ⇒ vers le centre

Cette expérience simple s'applique à pas mal de situations comme les méandres de rivières (c'est l'article d'Einstein), ainsi que la circulation de l'air atmosphérique, la météorologie étant un domaine d'application important.

C'est de la mécanique des fluides très complexe en réalité, et de nombreuses discussions et argumentations ont été publiées, il existe tout un historique sur ce sujet difficile à maitriser (du genre les couches et autres spirales d'Ekman)... Et je ne rentrerai pas dans ces problèmes qui me dépassent largement.

Je suis trop con pour ça.

Références

Pour aller plus loin, vous trouverez des articles en cherchant :

  • Einstein's tea leaves paradox
  • Thomson-Einstein tea leaf paradox
  • Paradoxe des feuilles de thé