Points de Lagrange, solutions au problème des 3 corps

Voici le cas le plus simple et le plus évident : au milieu de deux corps célestes, massifs, on ajoute un troisième élément, par exemple une sonde spatiale, dont l'effet sur les deux premiers corps sera négligeable. Une simplification qui aide beaucoup dans la résolution des équations, d'ailleurs nous ne ferons même pas de mathématiques ici, les mains suffiront.

Voici un cas un peu évident, que Jules Verne avait utilisé dans son fameux "De la Terre à la Lune" (1865).

Considérons une Terre fixe (pour éviter les complications), et sa Lune orbitant autour en suivant une trajectoire circulaire bien stable, nous éliminons toutes les autres perturbations possibles, la Terre et la Lune sont seules dans l'univers. Nous avons deux corps, c'est facile à calculer, ça ne dépend que des conditions initiales, le résultat sont des coniques : ellipses avec deux foyers (le cercle étant un cas particulier), paraboles, hyperboles, ce genre de choses.

Ajoutons un troisième corps, une fusée Apollo 11 si vous voulez. La fusée est peu massive, et ainsi on peut négliger les perturbations sur la trajectoire de la Lune, et encore moins sur la Terre que l'on considère fixe. Ces conditions sont importantes pour rendre le problème soluble.

Plaçons notre fusée entre la Terre et la Lune, les trois corps sont alignés (encore une condition restrictive). Cela implique que la fusée tourne autour de la Terre à la même vitesse que la Lune ce qui n'est pas si évident.

• Quand la fusée est proche de la Terre, on se doute qu'elle aura tendance à tomber sur la Terre, la Lune est trop loin.
• Inversement, quand la fusée est proche de la Lune, elle aura tendance à tomber sur la Lune, certes moins vite parce qu'elle est plus petite que la Terre, mais quand même.

• On se doute alors qu'il existe un point entre la Terre et la Lune où les forces qui s'exercent sur la fusée, l'attraction gravitationnelle de chaque astre et la force centrifuge, se compenseront exactement. Si la Terre et la Lune faisaient la même masse, ce serait exactement au milieu des deux (par symétrie). Comme la Lune est plus petite, ce point particulier se situe plus près de la Lune que de la Terre.

Et en plus, notre fusée tourne exactement à la même vitesse que la Lune. On se trouve avec un point fixe entre les deux corps !

Eh bien voilà, vous avez deviné qu'il s'agit d'un point tellement particulier qu'on l'a appelé "point de Lagrange L1".

Notez que cela n'a rien de particulier à la Terre et la Lune, ces points existent pour n'importe quel couple de corps célestes, le plus couramment cité étant la Terre tournant autour du Soleil, mais c'est valable aussi pour les autres planètes.

Sauf que le point L1 a un défaut embêtant : si jamais la fusée bouge un peu, alors elle sera attirée par un des deux corps célestes, et ne restera pas bien gentiment sur L1 (c'est un petit plus compliqué, on verra ça plus loin). Si on place une sonde à cet endroit, alors il faudra du carburant pour compenser les déviations...

Souvenez-vous que nous ne sommes jamais dans des cas idéaux où on ne considère que deux corps massifs. Dans le système solaire, l'interaction avec les diverses planètes fait que ces points seront plus ou moins perturbés...

Le truc marrant, c'est qu'il existe d'autres points particuliers du même tonneau.

Il existe également un point fixe de l'autre côté de la Lune, où notre fusée tournera exactement à la même vitesse que la Lune, l'attraction gravitationnelle de la Terre et de la Lune compensant exactement la force centrifuge.

Ce point L2 est à peu près symétrique de L1, en négligeant la masse de la Lune devant celle de la Terre.

C'est le point de Lagrange L2. Il présente la particularité d'être invisible depuis la Terre, caché par la Lune.

Comme pour le point de Lagrange L1, ce point n'est pas stable, dès qu'on s'éloigne du point, les choses empirent. On aurait préféré que si on s'éloigne, alors les forces gravitationnelles agissent de telle manière que l'objet soit rappelé, mais ça n'est pas vraiment le cas.

L2 du couple Soleil-Terre est devenu populaire ces derniers temps, car il est placé de l'autre côté de la Terre, plus éloigné du Soleil sans être trop éloigné pour y placer nos sondes.

Sans que ce soit la cohue, quelques sondes d'exploration de l'univers ont élu domicile en L2 :

• WMAP et Planck pour étudier le rayonnement fossile
• Herschel a regardé l’Univers infrarouge, et maintenant James Webb
• Gaia crée un catalogue d’un milliard d’étoiles
• Euclid mesure l’accélération de l’expansion de l’Univers

À partir de maintenant, nous considérerons le couple Soleil-Terre pour les autres points de Lagrange, car c'est une situation plus intéressante, et aussi par fainéantise pour récupérer les images et schémas déjà existants.

Le point de Lagrange L3 est la situation symétrique du point L2 : c'est le point de l'autre côté du Soleil qui tourne exactement à la même vitesse que la Terre. Il est (en pratique) quasiment sur l'orbite de la Terre, vu le peu de masse qu'elle représente par rapport au Soleil, son effet est négligeable.

Il pourrait s'y planquer une planète juste de l'autre côté du Soleil, qu'on ne verrait jamais de la Terre. Situation intéressante pour n'importe quel complotiste qui se respecte, ou pour certains écrivains de science-fiction. Pas de bol, ce point n'est pas stable, tout comme L1 et L2.

Si les points précédents étaient plus ou moins devinables, les points L4 et L5 sont nettement moins connus, et plus difficiles à trouver, mais ils gagnent à être connus, car contrairement aux autres points, il existe une certaine stabilité, les objets peuvent éventuellement s'accumuler !

Ce sont les points situés exactement à 60°, il en existe deux par symétrie.

Un bel exemple des points de Lagrange L4 et L5 est le système Soleil-Jupiter, où se sont accumulés quelques milliers d’astéroïdes, appelés troyens (d’après les héros de l’Iliade). On raffine parfois en mettant les Grecs en L4, par exemple Achille, et les Troyens en L5, comme Priam.

Le système Terre-Soleil possède un astéroïde troyen, 2010 TK7, découvert en 2010 par le télescope infrarouge WISE et un second découvert en 2020.

Calculer les points d'égale gravité (équipotentielles gravitationnelles) permet de voir un peu mieux l'effet du couple d'attractions gravitationnelles des deux corps célestes.

Par exemple en L1, on se rend compte que l'objet peut facilement "tomber" vers l'un des deux corps, mais que s'il arrive par les côtés, alors il "tombe" vers L1. La situation est très différente pour L4 et L5.

Les astéroïdes troyens peuvent avoir des trajectoires qui restent dans la zone du point de Lagrange, ou carrément avoir des orbites en fer à cheval entre L4 et L5, en passant près de L3 ! Ce qui ne rend pas les recherches faciles, comme on peut s'en douter.