Temps de refroidissement du noyau terrestre

Un peu comme Buffon, Fourier et Thomson en leur temps excusez du peu, quand ils ont voulu déterminer l'âge de la Terre, je me suis demandé quel était l'ordre de grandeur de la vitesse de refroidissement du noyau terrestre, qui est tout de même à la température assez appréciable d'environ 5500 K.

Je sais bien que notre Soleil et la radioactivité terrestre chauffent notre planète, et je mettrai ça de côté, je veux simplement avoir un ordre de grandeur, avec des hypothèses aussi simples que possible pour faire le calcul. Tout ça parce que j'ai fait par le passé un capteur d'empreinte digitale thermique, et que du coup j'ai exécuté pas mal de simulations thermiques.

La sphère est la géométrie qui présente le moins de surface par rapport à son volume. Du coup, les échanges de chaleur, qui dépendent directement de la surface entre le corps chaud et le corps froid, sont les plus réduits possibles.

La Terre est organisée en couches, et le premier problème est de connaitre les capacités et conductivités thermiques des différentes couches. Et je ne vais pas faire le malin, je vais oublier les histoires de convection, dont je sais d'avance qu'elles sont très importantes pour les transferts de chaleur, mais bon, je veux juste voir de quoi il retourne, sur la base de la conduction thermique.

Il faut déterminer les caractéristiques thermiques pour chaque couche, je vais prendre des valeurs moyennes, en négligeant les variations en température que des constantes, que de la conduction.

Introduisons la diffusivité thermique D ou α ce sera commode plus tard :

La diffusivité exprime que la chaleur se propage à travers une résistance thermique, d'autant mieux que la résistance est faible, d'où le terme en conductivité thermique au numérateur, et est ralentie par le matériau pompant de la chaleur, d'où la capacité thermique volumique au dénominateur.

Une quantité de chaleur phénoménale est stockée dans le globe terrestre, on n'a pas de préfixe pour ça, le plus gros, yotta, est 10²⁴.

C'est la conductivité thermique (ou la résistance thermique, comme vous voulez) qui va imposer la vitesse de la chaleur. La capacité thermique ne donne que la quantité de chaleur (d'énergie) qui finira par s'échapper, quoi qu'il arrive, vers la source froide. La chaleur du noyau terrestre finira par disparaitre, mais on parle de quoi en matière de durée ? C'est la question qui m'obsède oui, je sais, je suis contrarié par pas grand-chose.

Les ennuis commencent, car je ne suis pas vraiment mathématicien, mais bon, je vois bien qu'il existe une belle symétrie sphérique, et donc qu'on doit pouvoir arriver à un résultat assez simple qui donnerait la température en fonction de la profondeur et du temps.

Concernant la source froide, si on prend le vide spatial, la conductivité thermique est nulle, il n'existe que du rayonnement thermique. Allez, pour faire simple, j'impose l'air de l'atmosphère comme puits thermique à 300 K, ce qui suppose que toute la chaleur s'échappe dans l'espace via l'atmosphère.

L'asthénosphère et la croûte terrestre seront noyées dans le manteau, cela nous fera que deux couches. Je commencerai même avec une seule couche, un boulet de canon...
Je vous avais dit que je ferai très simple.

🤯 🤕

Eh bien, c'est quand même compliqué ─je n'y suis pas arrivé─. Ce qui me console, c'est qu'on trouve assez facilement l'équation différentielle générale dans le cas de la sphère (sans source de chaleur, mais c'est secondaire) :

En cherchant un peu des leçons sur le sujet, et bien la réponse est qu'il n'existe pas de solution analytique... et qu'on trouve des solutions approchées en suivant un procédé compliqué de recherche de valeurs propres.

Cette histoire de refroidissement du globe terrestre, ou d'un boulet de canon, s'appelle le problème de Kelvin, c'est le nom qu'on lui donne. Et Kelvin a salement truandé. Voilà comment il a fait.

Le calcul de la propagation de la chaleur entre des surfaces planes illimitées est relativement accessible.

Lorsqu'il n'existe pas de source de chaleur, et dans le cas unidimentionnel, la formule pour une surface plane infinie est :

• t est le temps
• x la position considérée
• D la diffusivité thermique
• T₀(u) est la température initiale de chaque couche infinitésimale

C'est là que Kelvin a considéré que le globe terrestre était plat (ça va faire plaisir aux platistes), enfin plus exactement qu'il pouvait appliquer la formule, que cela donnera un résultat très proche sinon identique. Ainsi, on s'arrête à x=0, et on fixe la température à zéro sur ce plan à n'importe quel temps, et la température initiale est T₀ partout.

La formule devient alors :

Les matheux reconnaitront la fonction d'erreur de Gauss, mais c'est secondaire pour la compréhension.

La seconde idée importante est que Kelvin se rend compte que la variation de température en fonction de la profondeur (le gradient) va dépendre du temps écoulé, en particulier à la surface de la Terre, à x=0 :

Les graphes de température en fonction de la profondeur, pour diverses durées, permettent de visualiser l'effet :

A l'époque, les valeurs retenues étaient :

• température initiale : 3 000°C
• gradient thermique en surface de la Terre : 0,03°C par mètre
• Diffusivité thermique : 10^-6 m²/s

Ce qui est évidemment très sous-estimé par rapport aux 4.5 milliards d'années admis aujourd'hui. Les raisons évidentes sont la non-prise en compte de la convection, qui a un effet très important, et on sait que la radioactivité terrestre produit beaucoup de chaleur, totalement inconnue à l'époque.

La chaleur provient de diverses manières :

• La chaleur stockée initialement dans les roches
• La radioactivité est assez importante, estimée entre 15 à 25 TW
• La cristallisation (changement de phase) du fer et du nickel
• L'énergie gravitationnelle liée à la chute des cristaux dans le liquide

Sans oublier que la convection existe grâce à la gravitation...

Rappelons que :

• En 2010, l'espèce humaine produisait 15 TW
• Quantité ridicule comparée aux 174 000 TW provenant du Soleil