Le quantique
Le jeu de Bell
Le jeu de Bell exploite l'intrication pour augmenter les chances de gagner. Du coup, on peut s'en servir pour vérifier l'état d'intrication de deux qubits. C'est en fait une utilisation particulière de l'inégalité de Bell.
Règles du jeu
Nous avons deux joueurs, Alice et Bob.
Chaque joueur est totalement indépendant, et devra répondre à une question parmi deux, x ou y (choisie par un arbitre, en pratique un générateur aléatoire). Puis chaque joueur va annoncer une réponse binaire, oui ou non.
Tout ceci se passe sans consultation pendant le jeu.
Les joueurs gagnent le jeu s'ils donnent la même réponse (tous les deux oui ou tous les deux non), SAUF dans le cas où ils ont choisi tous les deux la seconde question, ce sera l'inverse.
Nous avons au total 16 cas, qu'on peut résumer ainsi :
| Question | Réponse |
| x , x | non, non |
| non, oui | |
| oui, non | |
| oui, oui | |
| x , y | non, non |
| non, oui | |
| oui, non | |
| oui, oui | |
| y , x | non, non |
| non, oui | |
| oui, non | |
| oui, oui | |
| y , y | non, non |
| non, oui | |
| oui, non | |
| oui, oui |
Mathématiquement, si Alice répond a et Bob répond b, ils gagnent si :
Meilleure stratégie
Alice et Bob se mettent d'accord avant de jouer : ils répondront systématiquement non.
| Question | Réponse |
| x , x | non, non |
| non, oui | |
| oui, non | |
| oui, oui | |
| x , y | non, non |
| non, oui | |
| oui, non | |
| oui, oui | |
| y , x | non, non |
| non, oui | |
| oui, non | |
| oui, oui | |
| y , y | non, non |
| non, oui | |
| oui, non | |
| oui, oui |
Avec cette stratégie, ils gagnent dans 75% des cas. Et il n'existe pas de meilleur résultat, c'est ce que l'on peut faire de mieux. Même en ayant une suite de nombres aléatoires en commun (décidée avant de commencer le jeu), ils ne dépasseront pas 75%.
La difficulté provient du cas y,y où ils doivent répondre différemment, et chaque joueur ne peut pas deviner la question reçue par l'autre, parce qu'ils ne peuvent pas communiquer.
Et là, on se demande bien où on veut en venir avec ce jeu...
Avec un analyseur de photon
Nous allons transposer ce jeu au cas où Alice et Bob dispose d'un analyseur de photon, pareil que dans le protocole BBM92.
Le choix de la question sera le choix de la base de mesure du photon, autrement dit l'angle de polarisation de l'analyseur :
- x : H/V : horizontal ou vertical ?
- y : D/A : diagonal ou antidiagonal ?
Ces deux bases ont la particularité d'être orthogonales.
En réalité, le choix de la question est aléatoire, il s'agit du côté où ira le photon, et l'aiguillage peut être simplement une lame semi-réfléchissante.
Avec des photons quelconques, le résultat est totalement aléatoire, toutes les configurations sont équiprobables :
| Sélection | Mesure | Probabilité de gagner |
| H/V , H/V | H, H | 50% |
| H, V | ||
| V, H | ||
| V, V | ||
| H/V , D/A | H, D | 50% |
| H, A | ||
| V, D | ||
| V, A | ||
| D/A , H/V | D, H | 50% |
| D, V | ||
| A, H | ||
| A, V | ||
| D/A , D/A | D, D | 50% |
| D, A | ||
| A, D | ||
| A, A |
Nos joueurs gagnent une fois sur deux. Ce n'est pas terrible !
Avec deux photons identiques
Si Alice et Bob reçoivent deux photons identiques, polarisés de la même manière, et systématiquement alignés soit horizontal, soit vertical, nous avons une corrélation forte. Mais cela donne de mauvais résultats en diagonale.
Du coup, certains résultats n'arrivent jamais, et le tableau devient :
| Choix | Mesure | Probabilité de gagner |
| H/V , H/V | H, H | 100% |
| H, V | ||
| V, H | ||
| V, V | ||
| H/V , D/A | H, D | 50% |
| H, A | ||
| V, D | ||
| V, A | ||
| D/A , H/V | D, H | 50% |
| D, V | ||
| A, H | ||
| A, V | ||
| D/A , D/A | D, D | 50% |
| D, A | ||
| A, D | ||
| A, A |
C'est un poil mieux, on arrive à 5/8. Il faudrait connaitre les choix pour aligner les photons à l'avance.
Si on tente d'envoyer des photons H/V à Alice et D/A à Bob, ça change la répartition, mais pas le résultat.
Avec deux photons intriqués
Si Alice et Bob reçoivent deux photons intriqués, alors l'intrication implique une certaine corrélation dépendant de l'angle entre les deux lecteurs.
- Si l'angle est nul (même analyseur chez Alice et Bob) alors on aura 100% de corrélation
- Si l'angle vaut 45 degrés, alors on aura 50% de corrélation. 1 fois sur 2, ce sera d'un côté, 1 fois sur 2 de l'autre. C'est ce qui arrive quand on lit sur un H/V d'un côté et D/A de l'autre.
- Si l'angle vaut 90 degrés, c'est 0%, ça n'arrive jamais. Ça veut dire que l'on aura HH,VV,DD,AA mais jamais HV ou DA.
Du coup, certains résultats n'arrivent jamais, et le tableau devient :
| Choix | Mesure | Probabilité de gagner |
| H/V , H/V | H, H | 100% |
| H, V | ||
| V, H | ||
| V, V | ||
| H/V , D/A | H, D | 50% |
| H, A | ||
| V, D | ||
| V, A | ||
| D/A , H/V | D, H | 50% |
| D, V | ||
| A, H | ||
| A, V | ||
| D/A , D/A | D, D | 0% |
| D, A | ||
| A, D | ||
| A, A |
1 chance 2, le résultat ne s'améliore pas. Mais en fait, on n'est pas aussi malin que Bell sur ce coup-là.
Pourquoi utilise-t-on cette méthode dans BBM92 ?
Parce que dans BBM92, on jette les résultats où on n'a pas choisi les mêmes bases de lecture. On ne garde que les résultats intriqués, certains. C'est une autre "règle du jeu" dans ce protocole.
Inégalité de Bell
Bell a démontré qu'il existait une différence entre les probabilités prédites par la mécanique quantique et celles prédites par l'existence d'une variable cachée en fonction de l'angle entre deux systèmes d'analyse (il n'y a pas 4 analyseurs comme pour Alice et Bob, juste 2 analyseurs) :
Le maximum de différence intervient pour 22.5 degrés. Eh bien le jeu de Bell exploite la même caractéristique.
Amélioration du résultat
La ruse consiste à mettre un angle θ = π/8 entre Alice et Bob.
Et pas zéro comme avant.
Alice conserve son système tel quel, sa base de lecture verticale/horizontale est x { |→⟩ , |↑⟩ } et sa base orthogonale y { |+⟩ , |–⟩ } :
Bob va ajouter sur ses bases de mesure {|bx0⟩ , |bx1⟩ } et {|by0⟩ , |by1⟩ } un angle θ = π/8 :
La seconde base de Bob est toujours orthogonale à sa première, comme avant (2π/8=π/4).
Il s'agit de calculer à présent la probabilité de gagner pour chacun des 4 cas de choix d'analyseur.
- Pour (H/V, H/V), la probabilité d'obtenir (H,H), soit |→⟩ et |bx0⟩ est ½ cos²(π/8). C'est identique pour (V,V), soit |↑⟩ et |bx1⟩. La probabilité totale de gagner pour ce cas est alors cos²(π/8).
- On trouve le même résultat pour les 3 autres cas.
La probabilité est la norme, le carré du produit |→⟩ |bx0⟩ et de la fonction d'onde Φ du qubit intriqué, | ( ⟨→| ⊗ ⟨bx0| ) Φ|²
avec Φ = ( |→⟩|→⟩ + |↑⟩|↑⟩ ) / √2
| Choix | Mesure | Probabilité de gagner |
| x , bx (H/V , H/V) | H, H | cos²(π/8) |
| H, V | ||
| V, H | ||
| V, V | ||
| x , by (H/V , D/A) | H, D | cos²(π/8) |
| H, A | ||
| V, D | ||
| V, A | ||
| y , bx (D/A , H/V) | D, H | cos²(π/8) |
| D, V | ||
| A, H | ||
| A, V | ||
| y , by (D/A , D/A) | D, D | cos²(π/8) |
| D, A | ||
| A, D | ||
| A, A |
À la fin, la probabilité de gagner est donc cos²(π/8) ≃ 85% !
C'est bien mieux que 75%, où nos compères se mettaient d'accord à l'avance sur la meilleure stratégie. Cela parait magique, mais nous profitons ici du phénomène d'intrication, qui n'est pas classique.
Dans le quatrième, où on doit perdre, elles sont plus éloignées.
Toute l'astuce a été de placer les bases de mesure de Bob proches de celles d'Alice lorsque l'on veut un résultat proche, et éloignées dans le cas où on ne doit pas obtenir le même résultat.
D'une manière étonnante, les 4 cas de choix de base de lecture donnent la même probabilité. Cela signifie que si les générateurs aléatoires d'Alice et/ou de Bob se coincent pour une raison quelconque, et bien ça ne changera pas le résultat.
À se demander si on a besoin de changer de base au hasard. Voire utiliser un seul matériel pour Alice et Bob. Ce qui pose la question de la pertinence du jeu de Bell. Sauf que dans ce cas, les attaques sont plus simples.
À quoi ça sert ?
Dans BBM92, on profite de l'intrication d'une manière très basique en exploitant la corrélation. Mais on ne vérifie pas que les photons sont effectivement intriqués, ils pourraient avoir été trafiqués par Eve pour donner le même résultat, j'en donne d'ailleurs des exemples dans mes attaques.
Avec ce jeu, on peut tester si les photons sont effectivement maximalement intriqués, ce qui rendra la tâche d'un attaquant très difficile, certains disent carrément impossible. Mais c'est sans compter sur les difficultés de mise en œuvre des hypothèses de la preuve mathématique.
On notera que l'angle θ = π/8 = 22.5 degrés n'a pas besoin d'être absolument précis, ça peut se dérégler dans une certaine mesure, et ça restera quand même au-dessus des 75% de probabilité. C'est commode pour la mise en œuvre du système.