Intro à la mécanique quantique

On parle d'« état de Bell » lorsque l'on veut parler d'intrication.

Le cas le plus simple est lorsque l'on considère deux particules (A et B) et leur état (0 ou 1), soit un total de 4 états.

Une base de mesure dite orthonormée permet de mesurer les états. Par exemple, pour 2 particules A et B à 2 états 0 et 1, soit un total de 4 états :

Les signes cabalistiques sont ceux habituellement employés, c'est devenu une sorte de référence pour les personnes « dans le jus ».

On constatera la symétrie des équations.

La base « classique » vous donnera la mesure directe, par exemple si c'est une paire HH, ou une paire HV. La base de Bell donnera directement la corrélation, il s'agit d'un changement de repère, une rotation de la base orthonormée « classique » si vous préférez.

On emploie aussi la locution d'« état maximalement intriqué ».

Par exemple, si on utilise la base :

On constatera une probabilité de 50% pour HH, et 50% pour VV.

Autrement dit, si on mesure un photon tout seul, on obtient une valeur aléatoire. En recommençant l'expérience, on obtiendra une suite aléatoire HVVHVHVV...

Avec un second montage, on peut aussi mesurer les photons, et on obtiendra aussi une autre suite aléatoire. Par exemple VVHVHH...

Les deux pris séparément sont sans intérêt. Maintenant, si on rapproche les résultats, on pourra détecter des corrélations.

Si on observe pour le premier montage HVVHVHVV et pour le second montage HVVHVHVV exactement la même chose, alors c'est suspect, il y a anguille sous roche, les résultats sont parfaitement corrélés. On sera dans l'état |Φ+⟩ ou |Φ–⟩. Et avec une proportion de H et de V identique de 50% (c'est le résultat de la mesure qui vous le dira).

Mais il se trouve qu'il existe des états où la proportion de H et de V peut être différente, par exemple :

Un montage pris seul ne présente pas autant de photons H que de photons V. On dit alors que l'intrication est partielle. Elle est maximale uniquement si on obtient 50% de H et 50% de V.

Mesure ou test de Bell, BSM Bell State Measurement en anglais.

D'une manière générale, une mesure de Bell est difficile, voire impossible à faire complètement. C'est même l'objet d'une branche de recherche, la « Quantum State Tomography » voir plus loin.

Une mesure de Bell partielle sur des photons intriqués peut se faire avec une simple lame semi-réfléchissante :

Si deux photons arrivent sur la lame :

• un de chaque côté
• en même temps (sinon rien ne se passe)
• même longueur d'onde
• même polarisation (par exemple HH ou VV)

alors une interférence se produit, et un seul des deux détecteurs réagira. Cela parait logique à première vue.

Mais c'est un peu plus compliqué qu'il n'y parait. En fait, l'interférence se produit s'ils sont dans un état symétrique, et ne se produit pas s'ils sont dans un état antisymétrique (effet de Hong-Ou-Mandel).

Or un seul des 4 états de Bell est antisymétrique, c'est |Ψ–⟩. Les 3 autres sont symétriques. Du coup, les deux détecteurs ne réagiront ensemble que dans 25% des cas.

Comme vous le voyez, la mesure est partielle.

On peut faire mieux en utilisant des cubes séparant la polarisation après la lame semi-réfléchissante, mais la mesure est toujours incomplète en fait. On distingue |Ψ+⟩, |Ψ–⟩ (la moitié des cas) mais pas |Φ+⟩, |Φ–⟩.

A priori, c'est impossible de faire une mesure parfaite.

Avec une mesure de Bell, il est possible de provoquer un échange d'intrication (swap). Pour cela, les deux photons doivent être intriqués chacun de leur côté avec un autre qubit.

Nous avons deux boites quantiques A et B qui contiennent un qubit. Un photon est intriqué avec A, et un autre avec B, et sont dirigés vers la lame semi-réfléchissante en C où ils interfèrent ─ou pas.

Si un seul détecteur réagit, il y a eu intrication. Dans ce cas les deux boites quantiques A et B deviennent intriquées.

Nous avons donc là le moyen de provoquer une intrication et de vérifier si elle est effective. Ce sera particulièrement utile dans pas mal d'expériences et de systèmes, en particulier dans la téléportation quantique, ainsi qu'en cryptographie quantique.

Lire un état quantique, c'est toute une histoire et pas si facile. Une branche de recherche se consacre à la lecture des états quantiques : la QST, Quantum State Tomography. Il s'agit de lire correctement les états en choisissant bien les bases de mesure.

L'objet est "mesuré" sous divers angles, ce qui permet de commencer à mieux le connaitre. Au bémol près qu'en mécanique quantique, on a une nette tendance à réduire l'état quantique quand on le mesure, aussi faire plusieurs mesures est un challenge. Surtout qu'on ne peut pas cloner.

Et en plus, le choix de la base de mesure n'est pas trivial, surtout quand on ne sait pas ce qu'on va mesurer!

On va tenter de faire comme pour la médecine: on va faire des "tranches" de l'état pour remonter à l'ensemble. Enfin, dans une certaine mesure, on peut même deviner sur le dessin qu'on ne saura pas tout à partir des 3 images -il peut y avoir des formes cachées.

Et en plus, il faut compter sur le bruit, qu'on doit accepter que la conversion d'un photon en deux produits, deux photons identiques avec les mêmes caractéristiques, et que dès que l'on a plusieurs qubits, le nombre de mesures devient vite prohibitif (augmentation du nombre de dimensions de l'espace de Hilbert).

Et quand bien même on aura exécuté toutes les mesures, il faut ensuite calculer la fonction inverse pour remonter à l'objet, ce qui requerra peut-être un ordinateur quantique…

On n'est pas rendu ! C'est un sujet de recherche à part entière.