Les ordinateurs quantiques
L'informatique quantique
La manipulation mathématique n'est pas très naturelle, surtout quand on combine plusieurs qubits, car il faudra utiliser le produit tensoriel.
On va déjà commencer par voir ce qui se passe avec deux qubits qui vivent leur vie indépendamment.
Prenons le cas simpliste de deux qubits en parallèle, et on va reprendre le même exemple avec la porte de Hadamard. Nos deux qubits ont alors la même fonction d'onde :
Raisonnement avec les mains
Mais ce n'est pas pour ça qu'ils auront la même sortie, puisque c'est probabiliste. Les deux sorties ne sont pas corrélées, il n'y a pas raison qu'elles le soient car nous avons choisi exprès deux qubits indépendants. On va observer 50% de chance d'avoir un |0⟩ sur le premier qubit et pareil sur le second qubit. Quand on considère l'ensemble, cela revient à avoir 25% de chance d'observer chacun des 4 cas :
- |00⟩ : 25%
- |01⟩ : 25%
- |10⟩ : 25%
- |11⟩ : 25%
Calcul avec la fonction d'onde
Là, ça va faire nettement plus classe et sérieux.
Si on veut calculer la fonction d'onde de l'ensemble des 2 qubits, et donc obtenir les probabilités, il faut faire le produit tensoriel ⊗:
|Ψ1⟩ ⊗ |Ψ2⟩ = ( 1/√2 |0⟩ + 1/√2 |1⟩ ) ⊗ ( 1/√2 |0⟩ + 1/√2 |1⟩ )
|Ψ1⟩ ⊗ |Ψ2⟩ = 1/√2 ( |0⟩ + |1⟩ ) ⊗ 1/√2 ( |0⟩ + |1⟩ )
|Ψ1⟩ ⊗ |Ψ2⟩ = 1/√2 . 1/√2 ( |0⟩ + |1⟩ ) ⊗ ( |0⟩ + |1⟩ )
|Ψ1⟩ ⊗ |Ψ2⟩ = 1/2 ( |0⟩ ⊗ |0⟩ + |0⟩ ⊗ |1⟩ + |1⟩ ⊗ |0⟩ + |1⟩ ⊗ |1⟩ )
|Ψ1⟩ ⊗ |Ψ2⟩ = 1/2 ( |00⟩ + |01⟩ + |10⟩ + |11⟩ )
|Ψ1⟩ ⊗ |Ψ2⟩ = 1/2 |00⟩ + 1/2 |01⟩ + 1/2 |10⟩ + 1/2 |11⟩ )
Et on retrouve bien (½)² = ¼ = 25% de chance d'observer chacune des 4 combinaisons.
L'intérêt était juste de montrer la mécanique de fonctionnement et les raccourcis d'écriture qu'on s'autorise. Vous ferez bien attention que généralement, le produit tensoriel n'est pas commutatif : ici, cela n'avait pas d'importance, les deux qubits sont indépendants, mais méfie !
Calcul avec des matrices
Ci-après la même chose, en termes de matrice. Le produit tensoriel consiste à prendre chaque terme de la première matrice et à multiplier par la seconde matrice, dans chaque case. On l'appelle aussi produit de Kronecker.
Mais alors, quelle est la matrice correspondant au produit tensoriel H ⊗ H ?
un exercice mathématique particulier, très logique en fait
on retrouve le facteur ½, au carré ça donnera ¼ soit 25%.
Cela commence à vous faire sentir que lorsque l'on va manipuler plusieurs qubits, on va se retrouver rapidement avec des très grandes matrices, avec des effets pas faciles à prédire de manière intuitive.
Hadamard et Not (ou Pauli-X) en parallèle
Voyons sur un autre exemple si c'est du même tonneau. Prenons Hadamard et Not (= Pauli-X) en parallèle, donc toujours totalement indépendant. On refait exactement le même calcul.
Quelle est la matrice correspondant au produit tensoriel H ⊗ X ?
Et pourtant, les deux qubits sont parfaitement indépendants. Rien de bien évident pour le voir, et c'est un peu normal, puisqu'on "mélange" les probabilités en assemblant les qubits, mais ceci dit, on "voit" quand même une répétition dans le résultat (0,1,0,1) : le second qubit est toujours à |1⟩. Et attention à l'ordre, qui est premier et qui est second.
On comparera plus tard sur un autre exemple, quand on combinera vraiment des qubits avec la porte CNOT.
On va maintenant regarder une opération sur 2 qubits, qui parait simple car elle ne change pas grand-chose, mais qui aura des conséquences importantes en topologie.