Pour ceux qui connaissent déjà le paradoxe, en voici LA résolution. Sinon retournez en arrière, à la description.
Une explication est disponible dans l'introduction à la relativité, mais je reprendrai ici les termes.
Un problème de symétrie
Ce problème de symétrie, où on peut échanger les observateurs, existe avant même de discuter des jumeaux, nous l'avons déjà décrit et nous allons reprendre la présentation pour éviter des allers-retours (c'était dans l'introduction à la relativité et dans la dilatation du temps).
Alice et Bob pensent que c'est l'autre
Alice et Bob se croisent lors de l'évènement zéro, par convention et par facilité :
À 80% de la vitesse-lumière, on parcourt 20 minutes-lumière en 25 minutes, ou 20 années-lumière en 25 ans, choisissez ce que vous voulez. Ici on va prendre des minutes car cela laisse l'impression que la réunion sera plus facile, mais en fait ça ne change rien.
Vous voyez que l'on a fait exprès de déplacer les deux zouaves sur le dessin, mais c'est juste votre cerveau qui fait le troisième observateur et qui complique implicitement les choses. Alice s'éloigne de Bob à 80% de la vitesse de la lumière, Bob s'éloigne d'Alice à 80% de la vitesse de la lumière.
À cette vitesse relative, le γ vaut 1.666.
Alice voit le temps de Bob ralentir, autrement dit l'horloge d'Alice indique 25 minutes, et celle de Bob doit indiquer 15 minutes.
Et c'est pareil pour Bob ! L'horloge de Bob indique 25 minutes, et celle d'Alice doit indiquer 15 minutes.
Tous les ennuis viennent de cette constatation.
Dans le problème des jumeaux, nous décidons, arbitrairement, qu'Alice est immobile et que c'est Bob qui se déplace, mais c'est une vue de l'esprit.
Qui est le plus vieux ?
Einstein le disait relativement 😉 simplement et directement :
« ...si deux horloges synchrones se trouvent en un même point A et que l’on déplace l’une d’entre elles à vitesse constante le long d’une courbe fermée jusqu’à ce qu’elle soit revenue en A, (...) cette horloge, à son arrivée en A, retarde sur l’horloge qui n’a pas bougé. »
Oui d'accord, mais pourquoi ? Voici les arguments décisifs :
- La relativité restreinte indique la relation entre deux repères galiléens, via la transformée de Lorentz.
- En particulier, elle indique une dilatation du temps dans l'autre repère, autrement dit le temps s'écoule moins vite.
Pour l'instant, c'est totalement symétrique, c'est ralenti de chaque point de vue (et c'est zarbi pour nous, troisième observateur) et on n'est pas avancé.
Mais il faut remarquer que :
- Si on ne change pas de repère, alors c'est là que le temps s'écoule toujours le plus rapidement
Et il faut bien se rentrer ça dans le crâne, c'est ce qui m'a manqué. C'est une conséquence directe de la transformée : le temps ralentit toujours chez les autres.
Action propre
Nous allons reprendre cette histoire dans le contexte de l'expérience des muons.
En simplifiant un peu, un muon est une particule qui présente une durée de vie de 2 µs. Au bout de ce temps-là, il se désintègre, ça se voit facilement.
Nous allons considérer deux muons, l'un sera Alice et restera immobile, l'autre sera Bob et placé dans un accélérateur de particules.
- À t=0, Alice et Bob sont à l'arrêt
Ils viennent de naître, espérance de vie : 2 µs - Moins d'une picoseconde plus tard (un temps suffisamment bref pour être négligeable), Bob est accéléré avec une vitesse correspondant à un γ (gamma) de 30. On peut considérer qu'Alice et Bob ont toujours leur temps propre à quasiment zéro, il n'existe aucune raison pour que ce ne soit pas le cas.
Le problème de symétrie se présente ainsi :
- Pour Alice, à t=1 µs, le temps pour Bob est de 30 µs. Alors Alice pense que Bob s'est désintégré.
- Pour Bob, à t=1 µs, le temps pour Alice est de 30 µs. Alors Bob pense qu'Alice s'est désintégré.
Et ils ont tous les deux raison.
Car dans cette histoire, et dans toutes les autres, il faut bien considérer ce qui se passe dans le temps propre de chacun, et décrire les évènements correspondants aux « actions propres ».
Ici, c'est évidemment intéressant de considérer ce qui se passe au temps propre de 2 µs de chacun.
- À 2 µs dans son temps propre, Alice se désintègre. Nous pouvons l'observer avec nos appareils de mesure, également placés dans le même référentiel qu'Alice.
- À 2 µs dans son temps propre, Bob se désintègre. C'est l'évènement (2 µs, 0)B dans le référentiel de Bob. Pour connaître la date chez Alice, on utilise la transformée de Lorentz qui donne (60 µs, x)A dans le référentiel d'Alice, car le γ (gamma) vaut 30.
Et donc Alice observe la désintégration de Bob à t=60 µs. L'expérience le montre par ailleurs. Le muon Bob n'a pas vécu plus vieux qu'Alice, il est mort aussi à 2 µs dans son temps propre, mais ce temps s'est écoulé moins vite vu par Alice...
L'action propre de Bob est ici sa désintégration. C'est Bob tout seul, physiquement, qui effectue cette action. Dans le cas des jumeaux, le sédentaire ne fait rien. Par contre, le voyageur effectue une opération pas anodine, il modifie sa vitesse en effectuant une accélération (ou une décélération, c'est pareil) propre. Il change de vitesse par ses propres moyens.
Il faut donc appliquer la transformation de Lorentz à cet évènement particulier, l'action de décélération chez Bob dans les coordonnées spatio-temporelles de Bob (avec la particularité que x=0, Bob est fixe chez lui), vers le référentiel d'Alice.
Le sens de la dissymétrie est imposé par cette action propre.
L'explication des mathématiciens
Les mathématiciens vous parleront plutôt du temps propre et des trajectoires pour expliquer la dissymétrie, car effectivement, il y en a un qui a fait une boucle spatiale.
Souvent ils n'en disent pas plus, c'est que ça doit être évident quelque part pour eux, probablement l'hypothèse "je reste dans un repère inertiel" plus ou moins explicite.
Mais si on change de point de vue, l'autre réalise également une boucle spatiale !
Messieurs les matheux, pour expliquer aux noobs ce qui se passe dans le cas du paradoxe de Langevin, merci de :
- préciser que le sédentaire ne bouge pas du tout,
- ajouter explicitement que pendant sa boucle spatiale, le voyageur subit au moins une accélération changeant de vitesse, et concomitamment, changeant de référentiel inertiel.
Ce qui brise la symétrie. Accessoirement, c'est le même cinéma avec les lignes d'univers.
😡 Même si mathématiquement, c'est simple à décrire, j'aurai beaucoup apprécié voir ceci écrit dans un article, il a fallu que je trouve tout seul, c'est à se demander s'ils ont vraiment compris ce qui se passe physiquement...
Accélération constante
Il est possible de tout calculer dans le cas plus complexe d'une accélération continue pendant la durée du trajet du voyageur.
C'est l'objet de l'exercice 5 des « Exercices corrigés de 2019 » de l'Agrégation.
On obtient ainsi une trajectoire physiquement réaliste, sans aucune discontinuité de la vitesse ou accélération infinie comme dans la présentation la plus simple du paradoxe des jumeaux.
Rien n'empêche de prendre en compte des accélérations dans la relativité restreinte.
En effet, il suffit de découper le trajet accéléré en petits morceaux très courts où on considèrera la vitesse comme constante, et on appliquera le raisonnement précédent. En fait, on réalise une intégrale mathématique.
L'explication est indiquée, mais pas si évidente à saisir sans l'ajout du fait que celui qui ne bouge pas a forcément le temps le plus long :
Ainsi, si le voyage de Leia dure 40 ans pour Luke, il n’aura duré que 12 ans pour Leia lorsqu’ils se rejoindront au point de départ où Luke est demeuré pendant toute cette aventure.
Il est important de noter que les référentiels respectifs de Luke et Leia ne sont pas équivalents : celui de Leia n’est pas galiléen, et Leia en a la preuve car elle ressent dans sa fusée un poids apparent lié à son accélération propre (dont le sens change avec le signe de a), et ce tout au long du voyage ; ceci explique l’asymétrie entre les deux référentiels, et la différence d’âge à la fin du voyage.
Notez qu'on a beau faire une intégrale, cela veut dire que l'on a déjà accepté la différence, la dissymétrie, sur chaque morceau infinitésimal ! Alors l'explication a bon dos.
J'aurai aimé que l'auteur se demande ce qui se passe juste en C, au moment où la vitesse de Leia s'annule. Car à ce moment, Leia est dans le même référentiel que Luke... C'est donc le moment de poser des questions oiseuses sur les dates.
Accélération et inertie
Une action propre sera quasiment toujours un changement de vitesse provoqué par une accélération/décélération, une opération pratiquée localement par Bob, Alice n'ayant rien à voir avec cela. Les situations où l'action propre est une désintégration ne nous intéressent pas vraiment dans cette histoire de jumeaux.
En pratique, on peut différencier le sédentaire et le voyageur simplement en les munissant d'un accéléromètre, dont la masse inertielle réagira aux accélérations. Le sédentaire ne présentera aucune accélération.
À ceux qui soutiennent que la différence entre le voyageur et le sédentaire tient dans les accélérations ou dans un changement de référentiel :
- vous n'avez pas tort (bonne nouvelle !)
- mais précisez que le sédentaire, ne subissant aucune accélération, possède forcément le temps propre le plus rapide d'après la transformation de Lorentz... sinon, on se demande si vous avez compris, et vous n'êtes pas assez clair.
Évidemment que je ne considère jamais l'accélération de la pesanteur dans toute cette histoire, c'est du domaine de la relativité générale.
Les stupidités
Les trucs stupides pour démonter le paradoxe des jumeaux.
Le demi-tour
Ceux qui soutiennent que c'est à cause du demi-tour qu'on observe une dissymétrie sont complètement apocryphes, voire montrent qu'ils n'ont rien compris du tout.
Les malheureux.
Arrêt au demi-tour
Toutes les personnes, y compris des scientifiques renommés, qui disent que c'est le demi-tour qui brise la symétrie :
- n'ont pas compris ce qui se passe,
- et sont des abrutis qui ne se sont pas rendus compte qu'en faisant demi-tour, immanquablement le voyageur s'est retrouvé avec une vitesse nulle par rapport au référentiel du sédentaire.
Au moment du demi-tour, quand le voyageur possède une vitesse nulle dans le référentiel du sédentaire, il est possible de comparer les horloges du voyageur et du sédentaire, et constater la différence.
Oh bien sûr que le sédentaire n'aura pas l'information immédiatement, il faudra envoyer un message qui prendra le temps du trajet à la vitesse de la lumière. Eh bien sûr qu'il aura fallu que le sédentaire envoie au moins un message avec l'heure locale, à envoyer au point d'arrivée afin de synchroniser l'horloge locale, connaissant la distance entre les deux. Mais c'est secondaire, ce n'est que l'aspect pratique des choses.
Les diagrammes
Les diagrammes justifieraient la résolution du paradoxe.
Évidemment que ça ne marche pas comme justification, puisque départ arrêté, les diagrammes ne sont que la traduction de la transformation de Lorentz, et il faut donc admettre et comprendre comment marchent ces équations.
Comme votre serviteur est idiot, il répondra que votre diagramme ne répond pas à sa question, et qu'il peut faire exactement le même en inversant le point de vue. Et là, vous allez rester le bec dans l'eau avec votre beau diagramme.
Ces diagrammes n'intègrent pas visuellement les accélérations au départ, au demi-tour, à l'arrivée, pire, ils ont tendance à vous enfoncer la tête sous l'eau car ils donnent l'impression que l'on peut négliger ces accélérations, ce qui est exact pour le calcul de la dilatation du temps.
D'ailleurs, en dessinant ce diagramme en échangeant les points de vue, on retrouve la même chose, et vous pouvez retourner le raisonnement, c'est le sédentaire le plus jeune.
Quand bien même une accélération au démarrage serait intégrée, et bien en renversant les points de vue, vous verriez une accélération du sédentaire : c'est là qu'on se vautre, car le sédentaire ne subit aucune accélération, ce qui interdit d'échanger les points de vue pour faire ce diagramme...
Ces diagrammes ne sont que la traduction en dessins des transformations élémentaires, mais ils ne permettent pas de mettre vraiment le doigt sur la bonne raison à opposer au paradoxe !
L'effet Doppler
Alors là, comme justification foireuse, elle se pose là.
Je mets dans cette section toutes les tentatives où le voyageur et/ou le sédentaire vont envoyer à intervalle régulier un flash lumineux correspondant à sa seconde propre.
Cette tentative est encore pire que les diagrammes seuls, car c'est admettre départ arrêté qu'il y a une différence entre le sédentaire et le voyageur, puisque ces signaux ne sont que l'application de la transformation de Lorentz.
En effet, si ça marche au niveau d'une seconde, évidemment que l'accumulation fonctionnera aussi. La bonne question à rétorquer est "montrez-moi que les secondes propres sont différentes, et dans ce sens-là". Vous verrez qu'il y aura moins de monde...
De plus, ceux qui expliquent s'embarquent dans des considérations Doppler, ce qui est juste, mais cela noie le poisson et ne fait que montrer combien ils sont savants.
Au minimum, ils ne sont pas pédagogues pour rester poli. En réalité, c'est qu'ils n'ont pas compris la base sous-jacente.
La relativité générale
En espérant vous avoir convaincu. Pour ma part, le doute est définitivement levé.
Quelques références, et comment le sujet du temps est traité dans les films de SF. En suivant le guide, vous passerez à l'explication de la célèbre formule d'Einstein.